肥後民通信

熊本出身者で結成したヴァイスシュヴァルツ同好会のブログです。 主に大会レポ、作成した動画の情報など。

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ヴァイスの数理 その①【“幸せスパイラル”でキャンセル率は変わるか】

どうも!高校レベルの数学でヴァイスを考えてみようという記事です。

今回のテーマは以下のカード。(リンクはヴァイスシュヴァルツwikiさん)


“幸せスパイラル”小毬
【自】 あなたがこのカードの『助太刀』を使った時、あなたは自分の山札の上から3枚を、控え室に置く。
【起】【カウンター】 助太刀3000 レベル2 [(1) 手札のこのカードを控え室に置く] (あなたは自分のフロントアタックされているキャラを1枚選び、そのターン中、パワーを+3000)


他にも3枚落とす効果を持ったカウンターはいくつかありますね。
このカウンターを使用する前と後でキャンセル率は変化するのか?というのが今回の記事の焦点です。

結論から言うと、『使用してもキャンセル率は変化しません。』
(山札やCXの枚数、被ダメージ量に若干の条件はありますが…)

確率を勉強した人にとっては当然の事のように感じると思いますが、一般的な状況で証明を与えたいと思います。

数理と銘打っておいてショボいテーマですが、初回ということで生暖かい目で見てくださいw



今回ポイントとなるのが『条件付き確率』です。

条件付き確率とは、ある事象が発生したという条件のもとで新たな標本空間を生成し、そこで定義される確率のことです。
簡単に言えば、ある出来事が起こったという状況に限定し、そのもとで事象の発生する確率を考えよう、ということになります。

事象Aが起こったという条件のもとで事象Bが起こる条件付き確率は以下のように定義されます。(Pは確率測度であり、P{A}>0を仮定)



また証明に『全確率の定理』を用います。互いに排反なn個の事象A_{i}について、



となるならば、



が成立する、というのが全確率の定理です。

これらの道具のもとで、次の問題を解きます。


【問題】山札n枚、内CXがk枚の状況で、d点のダメージが与えられるとする。次の①、②でキャンセルが発生する確率を計算せよ。ただし、山札においてそれぞれのカードは一様かつランダムに分布し、n>k、k>3、n-k-3>dであると仮定する。

①そのままダメージを通す
②カウンター使用で山札の上から3枚を落とし、ダメージを通す


(この問題を解いて①=②であれば、証明がなされたと言えます。)


[答え]

①山札がn枚、CXがk枚より、CX以外のカードはn-k枚である。キャンセルが発生するということは、山札の上からd枚に1枚以上CXがあるという状況。
つまりキャンセルが発生する確率は、「山札の上からd枚に一枚もCXがない」という状況の余事象、その確率を求めればいいことになります。

山札は上からカードが順序付けられて並べられていますが、その並び方はランダムなので、(n枚の山札の)上からd枚めくる=n枚のカードからd枚をランダムに抽出する、となります。

(n枚の)山札の上からd枚に一枚もCXの無い確率、すなわちd枚引いた時、全てCX以外のカードである確率P{C}は以下のようになります。



以上より、①の状況においてキャンセルの発生する確率は



となります。


②この確率を考えるためには、場合分けについて注意を払わなければなりません。
つまり、「カウンターで落とす3枚の内、CXが何枚あるか」ということです。
落とす3枚のうち、CXが0枚の時をA_{0}、1枚の時をA_{1}、2枚の時をA_{2}、3枚の時をA_{3}とおくと、



が成立します。

3枚落とした後に、上からd枚にCXが一枚も無い確率を求めます。

(ⅰ)落とした3枚のうちにCXが0枚の場合

3枚のうちにCXが0枚である確率は次のようになります。



次に「落とした3枚のうちにCXが0枚だった(A_{0})」という条件のもとで、上からd枚のうちにCXが1枚も無い(条件付き)確率を計算します。
この状況では、山札がn-3枚、CX以外のカードがn-k-3枚になっていることに注意します。




(ⅱ)落とした3枚のうちにCXが1枚の場合

3枚のうちにCXが1枚である確率は次のようになります。



次に「落とした3枚のうちにCXが1枚だった」という条件のもとで、上からd枚のうちにCXが1枚も無い(条件付き)確率を計算します。
この状況では、山札がn-3枚、CXがk-1枚、CX以外のカードがn-k-2枚になっていることに注意します。



(ⅲ)落とした3枚のうちにCXが2枚の場合 (ⅳ)落とした3枚のうちにCXが3枚の場合 も同様にして計算すると、









となります。3枚落とした後、上からd枚にCXが一枚も無い確率 P{B} は、A_{i}がそれぞれ排反であり、総和がΩとなることから、全確率の定理より



で求められ、計算過程は省略しますが(ⅰ)~(ⅳ)を用いると、



となります。
(この計算は結構しんどいです。コンビネーションの定義を上手く使います。)

よって3枚落とした後キャンセルの発生する確率は次のようになります。




①と②を見比べると



となっており、そのまま打点を通した場合にキャンセルが発生する確率と、3枚落として打点を通した場合にキャンセルが発生する確率は等しいことがわかります。

しかし仮定である、n>k、k>3、n-k-3>d、が満たされない場合はこの限りではありません。


結論を言えば、3枚落とそうとキャンセル率は変わらないので、キャンセルは気にせず純粋なカウンターとして使えばいいということになります。
ノーコストで山削りが付いているようなものなので、トップ盛りなどに対するメタ、デッキを早回ししたい場合には積極的に運用すればよいと思います。


ちなみに計算が間違っていたらすみません(^q^)
ありうべき誤りは全て『あぜはと』の責任ですw


質問や感想、間違いの指摘などございましたら気軽にコメント下さい!!


<本文:あぜはと>

  1. 2013/07/09(火) 04:06:45|
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